Понятие оболочки и расчёт тонкостенных оболочек

     Под оболочкой понимается тело, одно из измерений которого (толщина) значительно меньше двух других. Как математическая модель по геометрической форме глаз и роговица в частности могут быть представлены в виде тонкостенной осесимметричной оболочки (т.е. имеющей форму тела вращения) [12, 15].

    Задача о расчёте тонкостенных оболочек вращения наиболее просто решается в том случае, когда возможно принять, что напряжения, возникающие в оболочке, постоянны по толщине и, следовательно, изгиб оболочки отсутствует (т.е. в нашем случае здоровая роговица и роговица с кератэктазией без статистически значимого истончения и искривления – I-III стадий). Теория оболочек, построенная в этом предположении, называется безмоментной теорией оболочек [31, 17].

    На рис. 9 и 10 схематически представлен сегмент роговицы abcd, вырезанный двумя радиальными и двумя меридианальными сечениями. Длины его сторон равны ds1и ds2, с радиусами R1и R2, нагруженный внутренним давлением интенсивностью q и имеющий толщину h.

    Составим условия равновесия элемента abcd в виде суммы проекций всех сил, действующих на элемент, на нормаль п к оболочке, проведенную в центре элемента. Так как по четырем граням, которыми выделен элемент, в силу симметрии оболочки и нагрузки относительно оси вращения касательные напряжения отсутствуют, эти грани представляют собой главные площадки, а нормальные напряжения - главные напряжения: меридиональное и радиальное (окружное или экваториальное, по разным источникам)

    На рис. 10 показаны три проекции элемента abсd и напряжения, действующие по его граням. Сумма проекций усилий, приложенных к элементу, на нормаль

     Принимая и учитывая, что,получаем или, после сокращения на произведение ds1ds2 и переноса давления q и толщины h в правую часть,.(1.1)

    Так как погонные усилия, действующие в экваториальном и меридианном сечениях,,можно получить уравнение (1.1), записанное через погонные усилия,(1.2)

    Уравнение (1.1) или его разновидность (1.2) называется уравнением Лапласа и является основным уравнением безмоментной теории оболочек.

    Рассмотрим данный закон в здоровой роговице:

    R1 = R2;σm = σr

    Уравнение приобретает вид:(1.3)

    т.е. при постоянном давлении, толщине роговицы и радиусе напряжения в каждой точке роговицы, действующие меридианально и радиально, равны и константны.